T45 - Solution des jeux (T39 & T43).
 Mots croisés (T39) 
 Le personnage célèbre (T43) 

SAM LOYD

Né le 31 janvier 1841 à Philadelphie, Pennsylvanie, Etats-Unis et mort le 10 avril 1911 à New York, Etats-Unis ; ce personnage était le créateur de puzzles et de récréations mathématiques célèbres. Il a étudié la technologie et a eu l’intention de devenir ingénieur mécanicien mais il a bientôt fait sa vie à partir de ses puzzles et problèmes d’échecs. En 1860, il est rédacteur de magazines mensuels sur les problèmes d’échecs et en 1878 il édite un livre « Stratégies d’Echecs ». Son puzzle le plus célèbre est le puzzle 14-15 qu’il a créé en 1878.

( Pour plus d’informations sur le puzzle 14-15 de Sam Loyd, vous pouvez consulter le livre de Martin Gardner « Recréations mathématiques du Scientific American » dont la traduction est éditée actuellement par l’ADCS ( cliquez sur le bouton «Livres »)).

 Mots croisés (T43) 
 Un nombre tenace (T43)

Soient a, b et c trois chiffres choisis.
On sait que 578 = 5 ×100 + 7 × 10 + 8
de même on a : abc = a ×100 + b ×10 + c .
La somme s vaut : a + b + c
Les six nombres possibles sont : abc, acb, bac, bca, cab et cba.
Et la somme S vaut :
S = abc + acb + bac + bca + cab + cba
S = (a ×100 + b×10 + c ) + (a ×100 + c ×10 + b )+(b ×100 + a ×10 + c ) + (b ×100 + c ×10 + a ) + (c ×100 + a×10 + b ) + (c ×100 + a×10 + b )
S = 100 ( 2a + 2b + 2c ) + 10 ( 2a + 2b + 2c ) + ( 2a + 2b + 2c )
S = ( 2a + 2b + 2c ) ( 100 + 10 + 1)
S = ( 2a + 2b + 2c ) × 111
S = 2 × 111 × ( a + b + c )
S = 222 × ( a + b + c )
Or a + b + c = s donc S = 222 × s , ce qui veut dire aussi S : s = 222

 Que de zéros (T43) 
 
Le nombre de zéros dans l’expression de factorielle 2003 est le nombre de facteurs 5 dans la liste des nombres de 1 à 2003 (chacun d’eux pourra être associé à un facteur 2 dont le nombre est bien plus grand comme on peut aisément le démontrer ou encore le constater après coup – voir plus bas…).
Chacun des 400 multiples de 5 inférieurs à 2003 apportera un facteur 5 sans compter les facteurs supplémentaires apportés par les multiples de 5 × 5 qui figurent parmi eux.
Chacun des 80 multiples de 5 × 5 = 25 inférieurs à 2003 apportera un facteur 5 supplémentaire sans compter les facteurs supplémentaires apportés par les multiples de 5 × 5 × 5 qui figurent parmi eux.
Chacun des 16 multiples de 5 × 5 × 5 = 125 inférieurs à 2003 apportera encore un facteur 5 supplémentaire sans compter les facteurs supplémentaires apportés par les multiples de 5 × 5 × 5 × 5 qui figurent parmi eux.
Enfin chacun des 3 multiples de 5 × 5 × 5 × 5 = 625 inférieurs à 2003 apportera un dernier facteur 5 supplémentaire.

Finalement le nombre de facteurs 5 sera 400 + 80 + 16 + 3 = 499 .

Remarquons que l’on vérifie bien que le nombre de facteurs 2 est lui bien supérieur puisqu’il est au moins (largement !) le nombre de nombres pairs inférieurs à 2003 !