T44 - Corrigés de l'étape 2 (2002/2003).
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E33

Jeu d'amiens.

En partant du mot AMIENS et en remplaçant A par B on obtient BMIENS
pour la 2ème transformation : B est remplacé par C et on obtient CMIENS
pour la 3ème transformation : C est remplacé par D et on obtient DMIENS
pour la 4ème transformation : D est remplacé par E et on obtient EMIENS
Il y a maintenant 2 lettres E qui vont être remplacées, à la 5ème transformation par 2 lettres F et on obtient FMIFNS et ainsi de suite. Ce qui fait qu’à la 19ème transformation, le mot RRRRRS va devenir SSSSSS.
A partir de là, toutes les lettres seront identiques et à la 26ème transformation le mot ZZZZZZ deviendra
AAAAAA.

E34

Nombres consécutifs.

10 + 11 = 21; 37 + 38 = 75
Si on ajoute 2 nombres consécutifs, la somme est un nombre impair, on cherche donc des nombres impairs.

- le premier est 1 car 0 + 1 = 1 ;
- le deuxième est 3 car 1 + 2 = 3
- le troisième est 5 car 2 + 3 = 5
...................................................
- le dernier est 99 car 49 + 50 = 99

Il y a 50 nombres impairs inférieurs à 100, donc la réponse est 50

E35

Carré,Carré,Carré...

- le 1er carré a pour aire 32 cm². Le deuxième carré a une aire égale à la moitié de celle du premier carré.
- le 2ème carré a pour aire 16 cm². Et ainsi de suite...
- le 3ème carré a pour aire 8 cm²
- le 4ème carré a pour aire 4 cm²
- le 5ème carré a pour aire 2 cm²
- le 6ème carré a pour aire 1 cm²

E36 Les 104 plaques d'Emmanuel.

104 m² est l’aire du rectangle, on choisit L = 104 m et l = 1 m car on veut le plus grand périmètre possible : c’est (104 + 1) x 2 = 210 (en mètres).
Il suffit de faire quelques essais pour s’en convaincre (le périmètre est donné en mètres) :

104 = 1 x 104 donc périmètre = 210
104 = 2 x 52 donc périmètre = (2+52) x 2 = 108
104 = 4 x 26 donc périmètre = (4+26) x 2 = 60
104 = 8 x 13 donc périmètre = (8+13) x 2 = 42

E37

GA BU ZO ME


Il nous faut tout d’abord BIEN comprendre “notre” écriture des nombres qui est basée sur l’utilisation de 10 chiffres : 0, 1, …,9. Cette écriture utilise des dizaines, des dizaines de dizaines ou centaines, des dizaines de centaines ou milliers, etc…

Un exemple : chez nous, 2358 = 2 × 1000 + 3 × 100 + 5 × 10 + 8 × 1 = 2 milliers + 3 centaines + 5 dizaines + 8 unités.

La valeur du nombre dépend de la position de chaque chiffre dans le nombre .

Les shadoks, eux, utilisent seulement 4 chiffres : GA, BU, ZO, MEU.

Leur écriture utilise donc des quatraines (appelées : poubelles)
des quatraines de poubelles (appelées : grandes poubelles)
des quatraines de grandes poubelles (appelées : containers)

Prenons des shadoks : supposons qu’ils soient 18. Comment les ranger ?

Nous avons 1 grande poubelle, aucune poubelle et 2 shadoks isolés

1 c’est BU , 0 c’est GA et 2 c’est ZO donc 18 s’écrit, en shadok, BU GA ZO

On peut aussi compter jusque 18 :

BUGA = 4 ; BUBU = 5 ; BUZO = 6 ; BUMEU = 7 ; ZOGA = 8 ; ZOBU = 9 ; ZOZO = 10 ; ZOMEU = 11; MEUGA = 12 ; MEUBU = 13 ; MEUZO = 14 ; MEUMEU = 15 ;

BUGAGA = 16 ( 1x 4^2 + 0 x 4^1 + 0 x 4^0 = 16), donc 18 c’est BU GA ZO ( 1x 4^2 + 0 x 4^1 + 2 x 4^0 = 18),

GA = 0 ; BU = 1 ; ZO = 2 ; MEU = 3

E38

Le nombre mystérieux.

On cherche le plus petit entier de 7 chiffres dont la somme de ses 7 nombres d’un chiffre soit 35.
Le 1er entier de 7 chiffres est 1 000 000 .
On écrit des 9 à droite jusqu’à s’approcher d’une somme égale à 35 .
On écrit 1 000 999 et on obtient une somme égale à 28.
Il manque 7 pour que la somme soit égale à 35 donc on écrit 1 007 999.

E39

Claudius le Romain.

Combien y a-t-il de nombres romains à 2 chiffres au plus et qui sont inférieurs à 10 ?
Il y en a 6 : I ; II ; IV ; V ; VI ; IX
Combien y a-t-il de nombres romains à 2 chiffres au plus et qui sont compris entre 10 et 20 ?
Il y en a 4 : X ; XI ; XV ; XX
Ensuite ces nombres deviennent plus rares ; on trouve encore :
XL ; L ; LI ; LV ; LX et enfin XC .
On a donc trouvé 16 nombres répondant à la question et 16 s’écrit en chiffres romains : XVI .

E40

Matthieu et les multiples

Ecrivons la liste des multiples de 16 : 16 ; 32; 48 ; 64 ; 80 ; 96…
Ecrivons la liste des multiples de 7 : 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70 ; 77 ; 84 ; 91 ; 98…
Bien sûr les autres multiples ne nous intéressent pas ici car les nombres cherchés ne s’écrivent qu’avec deux chiffres.
De plus, le chiffre des dizaines de A est aussi le chiffre des dizaines de C ,
le chiffre des unités de A est aussi le chiffre des dizaines de C,
le chiffre des unités de C est aussi le chiffre des dizaines de B,
le chiffre des unités de B est aussi le chiffre des unités de D.
Il suffit alors de se fournir dans les 2 listes précédentes et on obtient la solution unique
A = 96 ; B = 14 ; C = 91 et D = 64 .


C33

GA, BU, ZO, MEU (encore).

Après avoir relu le corrigé de E 37 et en allant plus vite, on peut dire :
4^0 = 1 , c’est BU. 4^1 = 4 , c’est BU GA. 4^2 = 16 , c’est BU GA GA . 4^3 = 64 , c’est BU GA GA GA.
4^4 = 256 , c’est BU GA GA GA GA . 4^5 = 1024 , c’est BU GA GA GA GA GA
Il faut décomposer le nombre 2003 selon les puissances de 4 :
2003 = 1024 + 979
= 1024 + 3 x 256 + 211
= 1024 + 3 x 256 + 3 x 64 + 19
= 1024 + 3 x 256 + 3 x 64 + 16 + 3
= 1 x 1024 + 3 x 256 + 3 x 64 + 1 x 16 + 0 x 4 + 3 x 1
= 1 x 4^5 + 3 x 4^4 + 3 x 4^3 + 1 x 4^2 + 0 x 4^1 + 3 x 4^0
et maintenant il ne reste plus qu’à traduire en numération Shadok:
1 est remplacé par BU, 3 par MEU, 0 par GA et on obtient: BU MEU MEU BU GA MEU.

C34

Cubes et diagonales de ces faces.

Les trois diagonales des trois faces visibles forment un triangle équilatéral dont les angles mesurent 60° .

C35

Les 104 bâtons d’Emmanuel.

Le périmètre est égal à 104 m, donc le demi-périmètre est égal à 52 m.
D’où les solutions suivantes :
Longueur = 51 m ; largeur = 1 m et Aire = 51 m²
Longueur = 50 m ; largeur = 2 m et Aire = 100 m²
Longueur = 49 m ; largeur = 3 m et Aire = 147 m²
Longueur = 48 m ; largeur = 4 m et Aire = 192 m²
…………………………………
Longueur = 27 m ; largeur = 25 m et Aire = 675 m²
Longueur = 26 m ; largeur = 26 m et Aire = 676 m²
Plus de doute ! l’aire maximale est égale à 676 m² et celle-ci est atteinte pour un carré de côté 26 m.

C36

Nombres consécutifs.

Le premier nombre cherché est 6 car 0 + 1 + 2 + 3 = 6
Le deuxième nombre cherché est 10 car 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Le troisième nombre cherché est 14 car 2 + 3 + 4 + 5 = 14
Il suffit donc, pour trouver tous ces nombres, de compter de 4 en 4 à partir de 6 ; voici la liste des nombres trouvés : 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94 et 98.
Il y a donc 24 nombres entiers, somme de 4 nombres consécutifs inférieurs à 100.

C37

Carrés consécutifs.

Calculons 10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365 et 13² + 14 ² = 169 + 196 = 365
mais pourquoi 365 ? est-ce un hasard.

Les bonnes réponses sont donc : 10, 11, 12, 13 et 14.

C38

Au marché du Beffroi.

D’abord, on sait que Georges a amené entre 11 et 14 bottes de poireaux.
Or la botte de poireaux est vendue 3 euros et il a encaissé 74 euros. Il n’y a que 4 essais à faire :
Si Georges a vendu 11 bottes de poireaux , celles-ci lui rapportent : 33 euros et il manque encore 41 euros pour les citrouilles, mais la citrouille est vendue 5 euros donc c’est impossible .
Si Georges a vendu 12 bottes de poireaux , celles-ci lui rapportent : 36 euros et il manque encore 38 euros pour les citrouilles, mais la citrouille est vendue 5 euros donc c’est impossible .
Si Georges a vendu 13 bottes de poireaux , celles-ci lui rapportent : 39 euros et il manque encore 35 euros pour les citrouilles, or la citrouille est vendue 5 euros donc c’est possible. Georges a vendu aussi 7 citrouilles.
Si Georges a vendu 14 bottes de poireaux , celles-ci lui rapportent : 42 euros et il manque encore 32 euros pour les citrouilles, mais la citrouille est vendue 5 euros donc c’est impossible .

C39

La poulette et le maïs.

Appelons x le nombre de grains de maïs que la poulette a mangés le premier jour.
le 2ème jour elle a donc mangé (x + 6) grains, le 3ème jour (x + 12) grains, le 4ème jour (x + 18) grains et le 5ème jour elle a mangé (x + 24) grains.
Ainsi, on obtient l’égalité suivante : x + (x + 6) + (x + 12) + (x + 18) + (x + 24) = 100
5x + 60 = 100
5x = 40
donc x = 8
Le premier jour, la poulette a mangé 8 grains de maïs.

C40

Cela ressemble à un Master Mind mais …

D’après la 1ère réponse, il n’y a ni 3, ni 8, ni 2. D’après les 5ème et 6ème réponses, il n’y a pas de 1, ni de 6.
Donc, dans la 5ème réponse c’est le 5 qui est bien placé. Le chiffre des dizaines est 5.
Dans les 3ème et 6ème réponses, le 7 n’est pas le chiffre des centaines, ni celui des dizaines. Le chiffre des unités est 7.
Dans la 2ème réponse, le chiffre bien placé ne peut être que le 4. Le chiffre des centaines est 4.

Conclusion : au Collège Jules Ferry, il y a 457 élèves.