T 46 - Corrigés de l'étape 3 (2002/2003).
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E41

Mille Feuilles

Vous avez bien observé les quatre tomes sur le dessin ; où se trouve la page 1 et où se trouve la page 501 ?
Ces pages 1 et 501 n’étant pas comptabilisées (ainsi que les pages 1501 à 2000), seules les pages des tomes 2 et 3 sont traversées par notre lépisme,
soit en tout 500 feuilles.

E42

Le cube incomplet

Comptons les cubes manquant à partir de la couche du sol. Il manque donc :
Couche 1 : 8 cubes,
Couche 2 : 8 + 3 = 11 cubes,
Couche 3 : 11 + 0 = 11 cubes,
Couche 4 : 11 + 3 = 14 cubes,
Couche 5 : 14 + 1 = 15 cubes,
Soit, au total 59 petits cubes.

E43

Encore un palindrome !

Il n’est pas difficile de calculer 1 x 1, 11x 11, 111 x 111, 1 111 x 1 111,... 101 x 101,…
Le nombre à calculer est 123 456 787 654 321 qui se lit 123 billions, 456 mille 787 millions 654 mille 321.

Les règles d’écriture et de lecture ne sont malheureusement pas les mêmes en France ou en Angleterre. Il faut prendre de nombreuses précautions pour ne pas tomber dans certains panneaux.
Un exemple, pour l’écriture : j’écris (en France) 5 : 2 = 2,5; Ceci s’écrit en Angleterre: 5 : 2 = 2.5 Ceci n’est bien entendu pas gênant. Mais si vous posez 1 : 2 vous attendez comme réponse 0,5 ou bien 0.5 ; Non, le zéro qui précède le point décimal ne s ’écrit pas outre Manche; vous lirez donc .5 ; ceci est bien gênant quand vous travaillez avec des photocopies de photocopies. . 12 devient alors facilement 12 qui est exactement dix mille fois plus grand que le précédent.
Attention au mot « milliard » qui est à considérer comme « un accident » de notre numération parlée française Fréquemment les étrangers disent billion, mais comprennent aussi le mot milliard.

Une confusion assez générale existe actuellement à travers le monde. Les règles en Angleterre, Danemark, Amérique du Sud sont différentes de celles en usage en France, en Italie, Espagne, Etats Unis ! Ces confusions sont soigneusement entretenues par nos dictionnaires,… Alors que faire ?
Pour notre compte, notre référence est le Journal Officiel de la République Française. Unités de mesure. Editions 1994, page 20.
Agissons avec prudence :
- N’hésitons pas à utiliser les préfixes du système métrique (appelé actuellement Système international ce qui s’écrit SI). Par exemple les préfixes K (pour kilo) ; M (pour méga), G (pour Giga). Tout le monde sait ce qu est un gigawatt !
- Pour les nombres supérieurs ou égaux à 1 000 000 000 000 (Un « 1 » suivi de 12 zéros ; nombre qui s’écrit en notation scientifique 10^12, et qui se lit 10 puissance 12), nous devons adopter (stricte obligation en France depuis ) la règle des 10^6N = (N)illion
N = 1 donne 10^6 soit le million
N = 2 donne 10^12, le billion
N = 3 donne 10^18 le trillion et vous aurez ensuite le quadrillion (un 1 suivi de 24 zéros), le quintillion, …

Vous remarquerez que le cette lecture simple nous vaut quand même l’inconvénient de préciser plusieurs fois le mot « mille » (voir la lecture de notre palindrome en début de ce corrigé) et que curieusement la règle ne s’applique pas aux nombres inférieurs au billion !
Et ceci ne gênera personne, pour éviter ces risques de non-compréhension, ne pas hésiter tout simplement à lire ce nombre (presque à l’épeler) par tranches de trois chiffres au plus. Notre palindrome se lit alors 123,456,787, 654,321.

E44

Le chamboule-tout (1).

Il y a deux solutions.
Après quelques essais, on s’aperçoit que : 10 + 12 + 13 + 5 + 9 + 8 = 57 et que 10 + 12 + 13 + 5 + 6 + 11 = 57. Nathalie a donc touché la boîte 8 ou la boîte 6.


E45

Le concours E. Lucas

Il ne semble pas qu’il y ait des élèves ayant le même classement.
Par déductions successives, on obtient le classement : Alexandra, Théo, Manon, Cyril et Emma.
Le second score est donc celui de Théo.


E46

Quelle drôle de division

Le nombre a est 86 bien entendu.
Le diviseur ne peut pas être 7, car le reste serait 9 ou 11 ; ce qui est impossible, le reste étant toujours plus petit que le diviseur.
11 peut être soit le diviseur, soit le quotient, mais pas 9, car 9 x 11 = 99 > 86.
La réponse est donc a = 86, b = 11, c = 9, d = 7.


E47

Divisible ou pas ?

Le nombre est divisible par 2 ou par 5 ; il se termine donc par 0 et s’écrit 1 ? 0 ? 40.
Le nombre est divisible par 9 ; la somme de ses chiffres est donc un multiple de 9, et vaut donc 9 ou 18.
Nous connaissons deux chiffres, 1 et 4 dont la somme est 5.
Pour les deux nombres manquants, la somme vaut 4 ou 13.
Si cette somme est 4, nous avons cinq solutions, et si elle vaut 13, nous en avons six.
Voici ces solutions :
100440, 140040, 110340, 130140, 120240, 140940, 190440, 150840, 180540, 160740, 170640.
Nous avons donc 11 solutions.


E48

Le papy russe

Papy a 98 ans et est donc né en 1905.
C’est bien facile à calculer surtout si on oublie de lire le second paragraphe de cette question; complètement inutile ici. Il ne comporte cependant aucune erreur.


C41

Cryptogramme

Ce petit texte nous provient de notre ami Dominique Souder de La Rochelle. Et nous l’avons entièrement pris de l’excellent « Y’a pas qu’les maths dans la vie … ! » livre qu’il vient d’écrire aux éditions ALEAS . Vite courez à la bibliothèque de votre collège. Vous l’y trouverez. Si ce livre n’y est pas, il ne restera qu’à vous le faire offrir.
Dominique Souder n’a pas écrit AMIENS, mais CARINE, ni BBBBBB, mais MMMMMM. Quant au corrigé d’aujourd’hui, nous l’avons entièrement repris ... dans son livre.
On doit remarquer que 7 x AMIENS = BBBBBB, et que ce résultat n’a que six chiffres, comme AMIENS, et non pas 7.
Donc à gauche 7 x A ne dépasse pas 10, et A ne peut pas être plus grand que 1. La lettre B est alors à envisager parmi les valeurs 7, 8, 9.
On ne peut avoir B = 7, car AMIENS vaudrait 111111, alors que toutes les lettres sont différentes.
On ne peut avoir B = 8, car 888888 : 7 = 126984, mais ensuite AMIENS + AMIENS donne 253968, qui n’est pas constitué des mêmes chiffres (IENSAM) que AMIENS
Si l’on pose B = 9, on obtient 999999 : 7 = 142857
On peut vérifier que quand on multiplie 142857 par 2, ou 3, 4 , 5 , 6, les résultats peuvent s’écrire avec les chiffres 1, 4, 2, 8, 5, 7, dont on change le départ en coupant comme avec un jeu de cartes. Par exemple, pour 142857 x 4, on s’attend à avoir pour chiffre des unités du résultat un 8 car 7 x 4 = 28 ; dont on coupe après le 8 et on fait passer 57 à gauche devant 1428, et on a le résultat 571428. Finalement, vous pouvez reposer toutes les additions en clair, et les vérifier : AMIENS = 142857 et BBBBBB = 999999.


C42

Le chamboule-tout (2)

Il n’est pas difficile de compter le nombre de boîtes d’un chamboule-tout à 1 ou 2 ou 3 ou … étages ; commençons cette suite de nombres que nous arrêterons dès que nous aurons atteint ou dépassé 2003. Nous notons (le nombre d’étages de chaque jeu) 1(1) 3(2) 6(3) 10(4) 15(5) 21(6) 28(7) 36(8) , … 1953(62) 2016(63).

Ce calcul est certes assez fastidieux et si vous avez lu nos derniers textes ou derniers concours, nous aurez noté que les sommes 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 , 1 +2 + 3 + 4, … 1 + 2 + 3 + … + n sont des nombres triangulaires qui se calculent facilement. Le nième est n x (n + 1) / 2.

Nous venons simplement de dire que tout nombre triangulaire est le demi produit de deux nombres consécutifs. Bref, Pierre ne peut construire son chamboule-tout car il lui manque 2016 – 2003 = 13 boîtes.


C43

La troisième couronne

Il vous suffit de la construire. Il vous faut 18 triangles équilatéraux et 12 carrés.


C44

Youki, viens ici !



Le schéma est clair et Youki parcourt :

- Un demi cercle de rayon 10 m,
- Un quart de cercle de rayon 8,
- Un quart de rayon 2,
- Un quart de rayon 4.


La longueur totale est donc : 10 pi + 2 pi + 4 pi + pi soit 17 pi, et si l’on prend pour pi la valeur 3,14, on obtient 53,38 mètres.


C45

Quelle famille !

Il s’agit de la famille CASSINI


C46

Planètes

Sept corps célestes sont visibles à l’oeil nu et donc connus depuis l’antiquité. Cinq correspondent à des planètes (nous avons ecrit en italique ces cinq noms dans le tableau qui suit des 9 planètes de notre système solaire). Vous n’oublierez pas que nous voyons aussi le Soleil et la Lune.


Et, c’est donc parce que ces corps célestes sont au nombre de 7 que notre semaine compte 7 jours !

Lundi, c’est Lunae dies, jour de la Lune
Mardi, c’est, Martis dies, jour de Mars
Mercredi, Mercurii dies, jour de Mercure
Jeudi, c’est, Jovis dies, jour de Jupiter
Vendredi, c’est Veneris dies, jour de Vénus
Samedi, c’est Sabbati dies, jour du Sabbat (en anglais c’est Saturday, jour de Saturne)
Quant au jour suivant, Dimanche en langue française, c’est tout simplement Dominica dies ou jour du Seigneur . Cependant les Anglais le notent Sunday, les Allemands Sonntag.

Voici donc nos planètes:

Nom de la planète
Distance moyenne au Soleil (en unités astronomiques)
Distance moyenne au Soleil (en millions de kilomètres)
Mercure
Venus
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
Pluton

0,387
0,723
1
1,524
5,203
9,539
19,191
30,061
39,529

57,9
108,2
149,6
227,9
778,3
1 427,0
2 871,0
4 497,1
5 913,5

Nous ne vous avons pas dit ce qu’était l’Unité Astronomique ! Mais, vous le savez maintenant.
Par ailleurs, nous retenons facilement la distance Terre-Soleil si l’on se souvient que la lumière du Soleil met 8 min et 20 s (soit 500 s) pour nous parvenir et que la vitesse de la lumière est de 300 000 km/s.


C47

Un vieux problème

Ce corrigé s’adresse à tous les élèves de collège, même des élèves de sixièmes, et pourtant, nous allons utiliser des inconnus ! et ce n’est vraiment pas bien difficile.
Appelons x, le nombre de problèmes réussis, et appelons y celui de problèmes ratés.
Nous allons tout d’abord traduire notre énoncé par deux équations :

x + y = 26 et 8x = 5y

Assurez-vous que nous avons bien traduit notre énoncé et nous allons transformer cette première ligne en une ligne équivalente que nous transformerons de nouveau …

8x + 8y = 208 et 8x = 5y (attention : nous remplaçons maintenant 8x par 5y et nous vous engageons à vérifier que chacune des écritures suivantes est bien, en un certain sens, une réécriture de la précédente).
5y + 8y = 208 et 8x = 5y
13y = 208 et 8x =5y
y = 208 : 13 et 8 = 5y
y = 16 et 8x = 80
y = 16 et x = 10
Voilà c’est tout ; le nombre de problèmes réussis par l’enfant est dix.

C48 Le château de cartes.

J’ai tout d’abord construit un château à quatre étages et j’ai construit un tableau.

Nombre d'étages
Nombre de cartes horizontales
Nombre de cartes obliques
Total
1
2
3
4

0
1
2+1=3
3+3=6

2
2+4=6
6+6=12
12+8=20

2
7
15
26


Vous pouvez facilement continuer ce tableau jusque 10 étages ou réfléchir à une formule générale pour un nombre quelconque d'étages.

Pour un chateau de 10 étages, la réponse est 155.