T49 - Corrigés de l'étape 1 (2003/2004).
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E0301

PYRAMIDE DE NOMBRES.

Très simple petit jeu de soustractions et d'additions successives. La réponse est 2003.

E0302

CARRE MAGIQUE.

Un carré magique fascine toujours un peu. Et cela semble si simple à écrire. L'un des plus célèbres figure dans la célèbre eau forte de Dürer « Mélancolie » gravée en 1514 (signature que vous retrouvez avec les deux nombres médians de la dernière ligne). Nous vous avons reproduit les valeurs de ce carré qui utilise les nombres de 1 à 16 et dont la somme magique est 34.

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Créer un carré magique peut sembler un jeu. Mais certains grands esprits se prennent à ce jeu qui devient vite passion ou science.

Je ne saurais trop vous recommander de visiter le site que vient de créer notre ami Christian Boyer : www.multimagie.com où vous découvrirez des carrés bimagiques, trimagiques, ...pentamagiques et même un cube tétramagique. (Notre ami Christian Boyer a créé ce cube en mai 2003 et dédie tous ses cubes tétramagiques à deux personnes Gaston Tarry et André Viricel (autre ami de l'ADCS décédé en Août de cette année)). Ce cube de 4 092 lignes, 4 092 colonnes et 4 092 piles est magique pour chacun de ses alignements, la somme magique, somme des nombres de chaque ligne, est .. 2 251 799 813 681 152, mais il reste magique si vous élevez chacun de ces nombres au carré, au cube, à la puissance quatrième! N'oublions pas non plus de compter toutes les diagonales pour lesquelles ... il reste magique.

Mais laissons parler Christian Boyer :

« Dans le numéro de septembre 2003 du magazine Pour La Science , nous avons publié un article sur l'histoire des cubes magiques et sur la construction de nos cubes multimagiques. Il y est décrit par exemple que notre cube tétramagique d'ordre 8192 est :

•  Si gros que, si vous le construisez (imaginez chaque cellule comme un petit dé en bois de 2cm x 2cm x 2cm sur lequel un nombre de 12 chiffres maximum est gravé), vous pouvez inclure dans le cube... Notre-Dame de Paris !

•  Si gros que, si vous testez 1000 dés (donc 1000 nombres) à la seconde, vous aurez besoin de plus de 17 ans pour tester tout le cube.

•  Si gros que, si vous gravez le nom de chaque personne vivante actuellement sur terre (à la place du nombre), seulement 1% des dés seront gravés! Et 99% des dés resteront vierges.

Le cube tétramagique d'ordre 8192 peut facilement inclure Notre-Dame de Paris ! »

 

Précisons que Christian. Boyer connut votre revue lorsqu'il était étudiant, qu'aujourd'hui, il tient ainsi 2 records mondiaux. Peut être pourra-t-il vous aider à construire vos premiers carrés magiques? Demandez-lui !

Pour notre carré à compléter, aucune difficulté. La diagonale droite a ses 4 nombres connus, la somme magique est calculable. C'est 2003. Les autres nombres se trouvent presque immédiatement. Parmi les nombres que vous avez calculés, quel est le plus grand ? quel est le plus petit? Leur différence est 675.


E0303

CARRES.

Pas bien difficile! On peut compter tout d'abord les carrés dont les bords sont parallèles aux bords de la feuille, et d'abord ceux d'aire 1, puis d'aire 4, puis d'aire 9 et on obtient un total de 9 + 4 + 1 soit 14 carrés.

Puis, compter ceux dont les côtés sont parallèles aux diagonales des carrés précédents et nous les compterons toujours par aire croissante. On obtient 12 + 5 carrés, soit un total de 14+17 = 31 carrés.


E0304

CUBONS, CUBONS.

Joli petit problème qui a été emprunté à un ancien concours:

Les décorations n'ont atteint que les faces des cubes visibles ! Il y en a donc 3 x 3 x 3 = 27 cubes non peints. Les 9 au centre de chaque face de C reçoivent une seule couleur, et nous avons donc 54 tels cubes. Sur chacune des 12 arêtes, les 3 cubes centraux présentent 2 faces peintes, soit 36 cubes. et les 8 cubes des sommets sont tricolorés. Soit 0 cubes avec 4 faces colorées, 8 cubes avec 3 faces colorées, 36 cubes avec 2 faces colorées, 54 cubes avec1 face colorée et 27 cubes avec 0 face colorée. Et je contrôle bien...que je ne me suis pas trompé, car je retrouve mes 125 cubes.

E0305

DES PETITS TROUS.

Léo a bien évidé 6 tunnels, mais chacun comprend le cube central. Il a donc de fait supprimé 6 + 1 = 7 cubes.

Le cube initial comportait 27 cubes. Actuellement nous en avons 20. Le perçage d'un cube le diminue donc, et il ne reste que les 20/27 du cube initial, soit 27 petits cubes.

E0306

PLUIE D'EUROS.

Non, Romain n'a pas bien travaillé chaque jour de la semaine. En effet, s'il avait bien travaillé, il aurait alors perçu :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 euros.

Il n'en a reçu que 31; soit un manque de 63 - 31 = 32 euros qui correspondent à un manque à gagner et à une amende de même valeur, soit de 16 euros chacun.

C'est donc le VENDREDI que Romain a mal travaillé.

C0301

QUELS NOMBRES ECRIRE ?

Kévin a bien rempli son tableau et il a obtenu 64 lignes toutes différentes représentant tous les nombres de 0 à 63. J'ai remplacé les x par des 1 et une suite de 0 et de 1 me fait beaucoup plus penser à un nombre ! Mais nous reparlerons de cela bientôt.

On vous a demandé de compter le nombre de 0 et le nombre de 1.

- Il n'est pas difficile de faire une multiplication. Nous avons 64 lignes et 6 colonnes, ce qui nous donne un tableau de 64 x 6 nombres soit 384 nombres et il n'y a aucune raison de privilégier les 1 par rapport aux 0 ou réciproquement. Chacun apparaît donc autant de fois (384/2 = 192). Simple, non !

- autre façon: en comptant le nombre de 0 par colonne:

colonne 1: une fois 0, une fois 1, une fois 0, ... soit 64/2 = 32 « 0 » écrits.
colonne 2: 2 fois 0, 2 fois 1, 2 fois 0, ... soit 64/2 = 32 « 0 » écrits, ...

et pour chacune des colonnes, on remarque que les 0 sont groupés par 1, par 2, par 4, par 8,... mais les 1 aussi. Nous avons 6 colonnes écrites avec autant de 0 que de 1 .

- d'autres façons de calculer qui vous sembleront moins simples sont possibles.

Regardons par exemple les lignes de la ligne 0 à la ligne 3:

1 est écrit 1 + 1 + 2 = 4 fois

Les lignes de 4 à 7:

il apparaît un 1 supplémentaire dans la colonne de 4. Les 1 pour ces 4 lignes sont donc comptés 4 + 4 fois soit 8 fois.

De même pour les nombres de 8 à 15; nous décomptons 8 fois le chiffre 1 qui apparaît dans la nouvelle colonne de 1, plus tous les autres,...

ce que je peux consigner dans le tableau d'apparition des 1 :

Lignes

Nombre de 1

Total

lignes 0 à 3

4

4

lignes 4 à 7

4 + 4

12

lignes 8 à 15

8 + 12

32

lignes 16 à 31

16 + 32

80

lignes 32 à 63

32 + 80

192


C0302

TOUJOURS DES PETITS TROUS.

Ce texte est la suite du texte E 0305, et je suis fort aise de la remarque que le correcteur a faite en vous proposant son corrigé à savoir que: « Le perçage d'un cube le diminue donc et il ne reste que les 20/27 du cube initial. ».

Qu 'avons nous fait ici ?

Nous avons dans chacun des 20 cubes restants considéré 3 x 3 x 3 = 27 petits cubes, soit un total, pour le grand cube, de 27 x 20 petits cubes (= 540) et « Le perçage d'un cube le diminue donc et il ne reste que les 20/27 du cube initial ».

540 x 20/27 = 400. Donc, il ne reste que 400 petits cubes.

C0303

UN ELEPHANT, CA TROMPE .

Notre petite centaine d'élèves venus le Samedi 18 Octobre recevoir le grand prix Edouard Lucas 2002-2003 ont vu des éléphants. Et c'est indiscutable :  « un éléphant, ca trompe ».

Certes, et le texte est précis, aucun n'a 4 pattes.

2003 pattes n'est pas un multiple de 5, ni un multiple de 6.

Puisque la réponse demandée correspond au minimum d 'éléphants à 6 pattes, c'est bien de ceux-ci que proviennent les 3 pattes qui excèdent le plus grand multiple de 5 contenu dans 2003. Pour ces 3 éléphants-là nous avons donc 6 x 3 = 18 pattes et les 1985 autres correspondent aux 397 éléphants à cinq pattes. (la bonne réponse est donc 3 éléphants à 6 pattes)

Je contrôle bien que:

2003 = 6 x 3 + 5 x 397

Pour presque tout nombre de pattes , nous pouvons facilement calculer, d'un troupeau exclusivement composé d'éléphants à 5 ou 6 pattes, ses compositions possibles. Quelques exemples:

Total Eléphants
11
12
15
16
17
18
20
21
22
23
24
...n
Eléphants à 5 pattes
1
0
3
2
1
0
4
3
2
1
0
?
Eléphants à 6 pattes
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4

?

Tiens, ma plume frétille. Pourquoi ne pas créer un nouveau texte avec des éléphants à 4, 5 ou 6 pattes!

Non ? J'attends vos suggestions.

C0304

NOMBRE CURIEUX.

Oui, un seul nombre abcd a la propriété que:

ab soit un carré
cd soit un carré et .
abcd aussi.

ab est un carré et comporte deux chiffres: ce ne peut être 1 ou 4 ou 9

ab vaut donc 16 ou 25 ou 36 ou 49 ou ..

(même remarque pour cd). abcd peut donc s'écrire (en classant ces nombres dans l'ordre naturel: 1616, 1625, 1636, ... 1681, 2516, 2525, 2536,... 2581, 8181.

Ce qui représente beaucoup de candidats! Certes, je peux les tester tous! Fort heureusement l'auteur de ce petit texte vous a dit qu'il n'y avait qu'une seule réponse. Et vous avez bien eu raison de le croire! Car l'un des premiers nombres que je peux tester dans cette suite, c'est 1681 qui le carré de 41 (de fait si j'écris les carrés à tester, ce sont bien ceux de 41, 42, 43, 44,.... et 41 est le premier !).

 Mais le problème n'est pas éteint, pour moi, auteur de ce texte et de ce corrigé. Je peux facilement vous dire : « Essayez tous ces nombres ! ». D'une part, je sais que vous ne le ferez pas et, le sachant, le procédé ne serait pas élégant. Alors, je dois me rabattre sur un texte que j'écris spécialement à cette intention et qui est le texte T ... ? (non encore rédigé)

Il apparaît clairement que 41 2 = 1600 + 2 x 40 x 1 + 1 2 = 1681
42 2 = 1600 + 2 x 40 x 2 + 2 2 = 1 7 .. Il est inutile que je complète; le 6 est écrasé par la retenue et j'obtiens un 7.

Essayons avec un nombre qui commence par 5.
51 2 = 2500 + 2 x 50 x 1 + 1 2 = 2 6 .. La même remarque que précédemment s'impose. Inutile de continuer.

Seul 1681 convient.

C0305

LES SATELLITES DE JUPITER.

Les quatre gros satellites de Jupiter ont été découverts par Galilée en 1610, et les voici, dans l'ordre alphabétique, avec quelques indications: (le premier nombre est le diamètre exprimé en km, le second indique la masse exprimée en 10 20 kg).

Callisto
4800
1075
Europe
3130
478,5
Ganymède
5260
1481
Io
3642
888,6

 

C0306

QUEL CADRE !

Ce petit texte fait partie des petits jeux que l'on rencontre souvent de nos jours.

La réponse est 82.

Remarque: l'auteur avait oublié de préciser dans la demande initiale qu' il s'agissait du plus petit nombre à écrire. Sans cette précieuse restriction, vous pouviez avoir aussi 83 ou 84.