T65- Corrigé du T62...

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Vive la montagne en été : le problème des gares de croisement.

Une solution algébrique existe bien sûr, mais elle est un peu fastidieuse et hors de portée des collégiens. Il est intéressant d’obtenir la réponse à l’aide d’un graphique :

  • Le trajet de chaque train partant de la gare A toutes les heures à la vitesse de 30km/h est représenté par un segment bleu.
  • Le trajet de chaque train partant de la gare B toutes les heures à la vitesse de 10km/h est représenté par un segment vert.
  • Les intersections de tous ces segments apparaissent alors clairement (en rouge) et mettent en évidence la nécessité d’avoir 5 gares de croisement entre les gares A et B distantes de 40 km.

    Ces gares sont installées en partant de A tous les 7,5 km !


Il faut donc installer 5 gares de croisement entre les gares A et B

  • la première doit se situer à 7,5 km de la gare A
  • la deuxième doit se situer à 15 km de la gare A
  • lla troisième doit se situer à 22,5 km de la gare A
  • la quatrième doit se situer à 30 km de la gare A
  • let la cinquième doit se situer à 37,5 km de la gare A.

Notons que ces graphiques sont abondamment utilisés, en réalité, par la SNCF.

Les cavaliers fous : échange des cavaliers noirs et blancs sur un échiquier 3 × 3.

La position initiale de nos cavaliers peut se représenter ainsi : 

(nous avons ajouté une " * " à un cavalier noir et à un cavalier blanc pour que vous puissiez suivre leur déplacement).

n*

 

n

 

 

 

b*

 

b


Il est aisé de voir que chaque cavalier n'a que 2 déplacements à sa disposition, soit en avançant de 3 pas, soit de 5 pas. Nous choisirons toujours ici le déplacement de 3 pas (il sera toujours possible ; pourquoi ?) et ce, dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre, dit sens trigonométrique.

 

Les 4 premiers déplacements (1 par cavalier) nous conduisent à la position suivante :

 

b

 

n

 

b*

 

n*

 

Vous remarquerez que nos cavaliers occupent maintenant les 4 cases, milieu des côtés.

Quatre nouveaux déplacements nous conduisent à la position où les 4 cases au sommet seront occupées, puis 4 encore, puis, enfin les 4 dernières. Voici l'échiquier aux 8 ème , 12 ème et 16 ème position. On devine la position globale des cavaliers après chaque série de quatre déplacements.

b*

 

n*

 

 

 

b

 

n

 

n

 

n*

 

b

 

b*

 

b

 

b*

 

 

 

n

 

n*

Seize déplacements suffisent pour obtenir la position souhaitée.