T88 - Corrigés de l'étape 1 (2006/2007).
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E1

14 juillet 1789 (ou 140789)

Il est assez simple de voir que la dernière date du siècle qui s’écrit avec 6 chiffres différents est le 30 12 98.

E2

Décompte sur polygone.

Intéressons-nous (voir énoncé) aux segments dont les extrémités sont les sommets d’un quadrilatère ABCD Les voici : [AB], [AC], [AD] [BC], [BD], [BA] [CD], [CA], [CB] [DA], [DB], [DC] Nous avons écrit 2 fois chaque segment ! Pour un pentagone (5 sommets), nous pouvons tracer (5 x 4)/ 2 soit 10 segments et pour un hexagone (6 sommets) nous pouvons tracer 15 segments ( 15 = (6 x 5) / 2).

E3

Léo le compteur…

n’a eu aucun mal à résoudre ce problème. Des nombres de 1 chiffre de 0 à 9, il en compte 10, soit 10 chiffres Puis viennent les nombres à 2 chiffres. Il lui reste 90 chiffres à écrire et chaque dizaine de nombres (celles commençant par 10, 20, ) en réclame 20. Les quatre premières dizaines en consommeront 80 ; il reste 10 chiffres à écrire : 50, 51, 52, 53, 54. Le 100ème chiffre écrit est donc 4.

(Léo, le beau compteur vous a-t-il bien conté sa solution ? si oui, alors assurément, il est également un beau conteur)

E4

Corinne la championne.

Ce texte aurait du être proposé dans un exercice d’orthographe ! Jeune lecteur, voici un abus de mots bien courant. Un ordre alphabétique, cela se définit sur … un alphabet. Vous connaissez notre alphabet de 26 lettres et l’ordre bien connu :a, b, c,… Avec un alphabet, on construit des mots que l’on met dans un dictionnaire (ou lexique) et l’ordre que l’on choisira sera alors dit ordre lexicographique.

Corinne a donc écrit les 41 premiers nombres dans l’ordre lexicographique habituel de votre dictionnaire. Voici ces mots

1 cinq
2 deux
3 dix
4 dix-huit
5 dix-neuf
6 dix-sept
7 douze
8 huit
9 neuf
10 onze
11 quarante
12 quatorze
12 quatre
14 quinze
15 seize
16 sept
17 six
18 treize
19 trente
20 trente-cinq
21 trente-deux
22 trente et un
23 trente-huit
24 trente-neuf
25 trente-quatre
26 trente-sept
27 trente-six
28 trente-trois
29 trois
30 un
31 vingt
32 vingt-cinq
33 vingt-deux
34 vingt et un
35 vingt-huit
36 vingt-neuf
37 vingt-quatre
38 vingt-sept
39 vingt-six
40 vingt-trois
41 zéro
 
 
 
 

Les réponses demandées sont donc onze, un et zéro.

E5

Un petit dessin.

Donnons-nous une unité pour mesurer ces surfaces, celle du petit carré. Il est assez simple de compter 4 rectangles de surface 1 (ce sont des carrés), 4 rectangles de surface 2 et 1 rectangle de surface 4 (c’est à nouveau un carré), soit 9 rectangles.

E6

Petite addition.

Voici l’addition demandée

      a a a         9 9 9  
+     b b c   +     1 1 0  
=   b b c a   =   1 1 0 0  

Au résultat, le chiffre des unités de mille est 1 (il provient d’une retenue) d’où b = 1. Dans la colonne des unités a + c = a (ou en cas de retenue a + c = a + 10 qui est impossible car le chiffre ne peut être égal à 10) donc c = 0. Dans la colonne des dizaines, a + b ne peut être égal à 0, donc a + b = 10 et comme b = 1, a = 9.

PC1

Décompte sur polygone.

Le décagone a 10 côtés et la réponse immédiate est donc (10 x 9) / 2., soit 45.

PC2

Les bons comptes.

Vous avez su répondre à la question E3 ; la même méthode est à suivre.

Des nombres de 1 chiffre de 0 à 9, il en compte 10, soit 10 chiffres.
Des nombres de 2 chiffres de 10 à 99, il en compte 90, soit 180 chiffres.

190 chiffres écrits et, pour atteindre le 2006ème chiffre,il reste 1816 (2006 – 190) chiffres à écrire et nous commençons avec le nombre 100 à écrire des nombres de 3 chiffres.

Pour chaque nouvelle centaine de nombres (celles commençant par 100, 200, 300,…), nous comptons 100 nombres de 3 chiffres, soit 300 chiffres. Pas difficile, il me semble, de voir que je vais écrire 6 centaines de nombres, c'est-à-dire 1800 chiffres. et qu’il me restera donc 16 chiffres à écrire ; faisons-le.

700, 701, 702 ,703 ,704 , 7 et…Voilà la réponse : 7….

PC3

1/19

Je sais faire cette division. Mais je dispose aussi de la formidable calculatrice de Romain (vous aussi, sinon revoyez vite le texte T 71 dans notre revue « Les héritiers d’Archimède » qui est sur le site de l’ADCS ( www.adcs.asso.fr ) ;

Et vous pouvez télécharger cette calculatrice afin de l’avoir immédiatement à votre disposition). En voici quelques unes.

0,052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631…

Vous remarquez que la suite de 18 chiffres 052 631 578 947 368 421 se reproduit régulièrement. Et à partir de là, tout est joué ou presque. Combien de fois cette suite se répètera-t-elle dans la suite des 2006 décimales ? Une simple division vous le dira, et seul renseignement utile ici, il vous restera après cette dernière suite complète de 18 décimales, 8 décimales à écrire. La 8ème décimale est 7, qui est la réponse demandée.

PC4

Date curieuse

Nous pouvons trouver cette date par simples déductions. Pour cette première année du siècle, je vais assurément rechercher une année dont le millésime s’écrira ..0Z (voyez bien le « 0 « ). Alors le mois est nécessairement 12 et pour le jour, ce sera un nombre de 2 chiffres commençant par 3 et je ne dispose plus de second chiffre !!! Je dois donc rejeter toutes les écritures telles ..0Z et à plus forte raison, rejeter ..10.

Bien entendu ..11 est refusé.

Essayons ..12..Le mois s’écrira nécessairement 0. et pour le jour, ce sera 3. ; mais que choisir pour le second chiffre du jour ? Aucune possibilité. Donc abandon et un autre essai est nécessaire.

Essayons donc ..13. Le premier chiffre du mois peut être 0. Alors le premier chiffre du jour est 2 et la date s’écrit 2.0.13 : Il ne reste alors qu’à compléter et la date demandée est :la première date du siècle dont l’écriture sous la forme JJ MM AA comporte 6 chiffres différents est 25 04 13.

(L’auteur de ce petit texte voulait initialement demander combien ce siècle contenait de dates qui s’écrivent avec 6 chiffres différents. L’ami Pierre qui sait utiliser son ordinateur m’a précisé qu’il y en avait 3 900 !!!).

PC5

Deux carrés.

Le petit carré a une aire de 16 cm2 , moitié de l’aire du grand carré, et son côté mesure donc 4cm.

PC6

Un peu d’histoire des sciences…

Nos deux scientifiques sont Delambre et Méchain

GC1

Cyril au verger.

J’aime les pommes et j’ai aussi beaucoup aimé ce joli texte, pas simple au premier abord. Tout d’abord, on peut admettre qu’il ne contient aucune faute, qu’il n’y a pas d’oubli d’une information capitale. Non, ce texte a été relu (bien relu) avant de le mettre dans ce concours. Il nous faut lire avec attention toutes les informations et les analyser avec précision.

Julien, Catherine et Emmanuel se trouvent dans la même situation qui aura exactement le même traitement. Cyril dispose d’un certain capital (appelons c le nombre de pommes dont il dispose), il fera un don (appelons d le nombre de pommes de ce don), et il lui reste des pommes (appelons r le nombre de pommes qui lui restent).

A l évidence aucune pomme se crée, aucune pomme disparaît. Et nous avons l’égalité c = d + r .

Par ailleurs une autre égalité est (presque) écrite. Le capital de Cyril est à trois reprises divisé en deux parties et le don d surpasse le reste r de 4 pommes. Enfin, enfin, dernière information Martial ne reçoit qu’une pomme.

Remontons donc ce texte depuis la dernière situation, puis nous verrons la seconde, puis la première. situation 3 : reste r = 1 ce qui donne d = 1 + 4 = 5 et c = 5 +1 = 6
situation 2 : reste r = 6 ce qui donne d = 6 + 4 = 10 et c = 10 +1 = 16
situation 1 : reste r = 16 ce qui donne d = 16 + 4 = 20 et c = 20 +16 = 36.

Cyril avait donc 36 pommes, ce que vous pouvez vérifier. Ce petit teste, vous pouvez l’agrémenter à votre guise et le « corser ». .Doit on se limiter à 3 personnes (Julien, Catherine et Emmanuel) ? Non. Doit on s’imposer que le dernier reçoive une seule pomme ? Non Bonne chance.

GC2

Paires.

Vous connaissez les textes E 2 et PC 1. Disposons nos 25 élèves « en cercle ». Chaque élève est le sommet d’un polygone à 25 côtés (ou 25 sommet appelé pentaicosagone (bien lire penta-icosagone).

Pour former des paires, on peut relier chacun des 25 élèves aux 24 autres élèves de la classe ; chaque paire étant comptée deux fois, nous pouvons donc former 300 paires ( 25 x 24/ 2).

Vous remarquerez l’analogie qui existe entre GC2 et un problème de géométrie du type PC1., alors que, au départ les problèmes semblent complètement différents. En assimilant une paire d’élèves aux extrémités d’un segment, nous venons de créer un isomorphisme de une « classe de 25 élèves » et « un polygone de 25 sommets ».

Les isomorphismes sont des outils très puissants en mathématiques et, plus généralement, dans les sciences modernes : gageons que vous pourrez saisir toute leurs portée pendant vos futures études scientifiques

GC3

Une nouvelle addition

      a b b c a         6 3 3 1 6  
+     a b d c a   +     6 3 0 1 6  
=   c c a b b e   =   1 2 6 3 3 2  

Comme pour E3, c = 1 (au résultat le chiffre des centaines de mille provient d’une retenue). Colonne des dizaines : 2c = b ou s’il y a retenue provenant de la colonne des unités, 2c + 1 = b donc b = 2 ou b = 3.

Colonne des centaines : b +d = b (ou b + d = b + 10 impossible car d ≠ 10), donc d = 0.

Colonne des unités de mille : 2b = a (car pas de retenue à la colonne précédente). Comme b = 2 ou 3 alors a = 4 ou 6.

Colonne des dizaines de mille : 2a = 12 donc 2a >>9 d’où a = 6 et par conséquent b = 3.

On trouve alors facilement e = 2

GC4

Un petit dessin… et un curieux petit problème .

Je reconnais deux fois le dessin posé aux écoliers en E5, ce qui me donne la réponse : 18.

GC5

Combien étaient-ils ?

Petit texte redoutable pour nos grands élèves de collèges. Plusieurs possibilités s’offraient à eux pour résoudre ce problème.

- Nous savons qu’il n’y avait pas 365 élèves. Il suffisait pour tout nombre compris entre 1 et 365 de vérifier s’il était compatible avec les conditions et de continuer jusqu’à trouver la solution (certainement unique) à la question posée. Bonne chance aux malheureux courageux qui se sont engagés dans cette voie qui conduit pourtant à la solution, mais au prix de quels efforts !

- Plus intéressant. Exploiter les informations données (qui sont des contraintes certes) ; puisque, en rangeant les élèves par 7 par exemple, on ne trouve aucun traînard ; Le nombre d’élèves est un multiple de 7 soit 7 ou 14 ou 21 ou 28 ou 35 ou 42 ou…

Puis vous prenez les contraintes supplémentaires une par une. Par exemple, puisque ce nombre divisé par 2 donne pour reste 1, il faut supprimer de la longue liste dont je vous ai donné l’ébauche les nombres ne remplissant pas cette condition, c'est-à-dire les nombres pairs.

Puis vous attaquez une autre condition et rayez aussi les nombres qui ne satisfont pas à cette contrainte, puis,

- ceci est encore bien lourd, et une analyse plus fine de ces contraintes s’impose ; je vous les recopie

  • contrainte 2 : en les rangeant par 2, il reste 1 traînard
  • contrainte 3 : en les rangeant par 3, il reste 1 traînard
  • contrainte 4 : en les rangeant par 4, il reste 1 traînard
  • contrainte 5 : en les rangeant par 5, il reste 1 traînard
  • contrainte 6 : en les rangeant par 6, il reste 1 traînard
  • contrainte 7 : en les rangeant par 7, il ne reste aucun traînard.

Ces contraintes ne sont pas indépendantes ! Quelques exemples. La contrainte 2 et la contrainte 4 sont toutes deux contenues dans la contrainte 4. La contrainte 2 est inutile, puisque 4 est un multiple de 2.

Les contraintes 2, 3 et 6 sont toutes les trois contenues dans la seule contrainte 6 qui si elle est vérifiée rend les deux autres immédiatement vérifiées puisque 6 est un multiple de 2 et de 3.

Il ne semble alors rester que les contraintes 4, 5, 6 (et 7 dont nous parlerons plus tard). Peut on réunir ces 3 contraintes en un seule ? Oui, en écrivant une autre contrainte. Les nombres 4, 5, 6 ont bien entendu des multiples communs et le plus petit d’entre eux est 60. Sans tenir compte de la contrainte 7 vous pouvez vérifier que tout multiple de 60 auquel on a jouté 1 vérifie toutes les autre contraintes : 61, 121, 181, …

Reste alors la contrainte 7. Ce nombre est un multiple de 7. Ecrivons de nouveau ces multiples de 60 augmentés de 1 et voyons lequel remplit cette dernière condition : 61 ,non, 121 non, 181 non, 241 non, 301 OUI. Ce nombre est plus petit que 365 ; c’est bien la réponse demandée