T 34 - Réponses à l'épreuve 7 du concours E. Lucas.
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :

E19

Groupons les années selon leur chiffre des dizaines
-chiffre des dizaines : 0. Donc pour l'année 2001 : le palindrome est 101101
pour l'année 2002 : le palindrome est 201102
pour l'année 2003 : le palindrome est 301103
Et c'est tout pour les années qui ont 0 pour chiffre des dizaines puisqu'il n' y a pas plus de 31 jours dans un mois !
-chiffre des dizaines : 1. Donc pour l'année 2010, le palindrome est 011110
pour l'année 2011, le palindrome est 111111
pour l'année 2012, le palindrome est 211112
Vous avez sûrement compris aussi que seul le mois de novembre noté 11 convient puisque les palindromes cherchés ont 6 chiffres. Et novembre n'a que 30 jours !
On constate qu'il ne peut y avoir que 3 palindromes pour une série d'années ayant le même chiffre des dizaines, or pour chaque siècle il y a 10 chiffres des dizaines possibles donc pour le 21ème siècle, il y a 30 palindromes.

E20

Si i = 9 alors c = 3 et f = 6 . Le résultat n'a que 3 chiffres donc les chiffres a et d donnent une somme inférieure ou égale à 8. La seule solution est de prendre 2 et 5…et il y a une retenue. Finalement, après quelques essais on trouve : 273 + 546 = 819.

E21

Un petit rappel s'impose : l'aire d'un carré de côté c est c × c
Le périmètre d'un carré de côté c est 4 × c
En comparant ces 2 formules, il est clair que le côté ne peut être égal qu'à 4 m.

 

C19 Les palindromes à trouver ont maintenant 8 chiffres et la 1ère date est 10022001
Mais il n'y a que 12 mois dans une année et donc il sera inutile de chercher un palindrome pour une année supérieure à 2199 ! Donc les seuls siècles qui nous intéressent sont le 21ème et le 22ème siècles. D'autre part, les années commenceront toujours par 20…ou par 21…et donc les mois concernés sont février (02) et décembre (12). Attention ! n'oublions pas que le mois de février n'a jamais plus de 29 jours.
Voici donc le début de la liste des palindromes : 10022001 ; 20022002 ; 01022010 ; 11022011 ; 21022012 ; … ; 29022092. Vous voyez ! chaque série d'années ayant le même chiffre des dizaines a 3 dates palindromiques sauf la 1ère série (chiffre des dizaines : o) qui en a 2 ! Voici pour le 21ème siècle : 29 palindromes !
Passons au 22ème siècle : 10122101 ; 20122102 ; 30122103 ; 01122110 ; 11122111 ;
21122112 ; 21122113 ; … ; 29122192 . Vous voyez ! chaque série d'années ayant le même chiffre des dizaines a 3 dates palindromiques sauf la 2ème série ( chiffre des dizaines : 1) qui en a 4 ! Voici pour le 22ème siècle : 31 palindromes !
Pour le 3ème millénaire, il y a 60 palindromes.

 

 

C20

Il n'a jamais été interdit d'étudier les textes déjà publiés sur ce site. Non, cela est même recommandé ! ( Voyez donc le texte E5 et son corrigé de notre concours 1,2,3 Mathématiques de l'an 2000 ). Voici une approche accessible à chacun ; appelons-la " par tâtonnements sucessifs ". S'il y avait 5 participants, il y aurait eu 10 poignées de main. En effet, chacun serre la main d'un des 4 autres, ...mais chaque main est serrée dans ce compte-là 2 fois ( 10 = (5 X 4) : 2 ). S'ils avaient été 10, ...cela aurait fait 45 poignées de main. En effet 45 = (10 X 9) : 2 . On approche du résultat ! ...

Vous l'avez, c'est 12 car 66 = (12 X 11) : 2.

Dit autrement, la réponse, quel que soit le nombre de poignées de main est bien la moitié du produit de deux nombres consécutifs !

 

C21

Tout d'abord il s'agit de trouver le nombre de bouquets identiques composés par Mme Larose . Il faut donc chercher le plus grand diviseur de 100, 120 et 180 : c'est 20 bien sûr ! Mme Larose a donc constitué 20 bouquets chacun composé de 5 tulipes, de 6 jonquilles et de 9 narcisses .
Il ne reste plus qu'à calculer le prix d'un de ces bouquets :
5 × 0,5 + 6 × 0,15 + 9 × 0,40 = 2,50 + 0,90 + 3,60 = 7
Chaque bouquet de Mme Larose est vendu au prix de 7 euros.