T32 - L'effet Condorcet

Condorcet, Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de (1743-1794), philosophe, mathématicien et homme politique français dont l'œuvre s'inscrit dans le courant intellectuel des Lumières. Né à Ribemont (Aisne) le 17/09/1743, il fut formé chez les Jésuites et au collège de Navarre à Paris. Ami des encyclopédistes, Condorcet fut élu à l'Académie des sciences en 1769, dont il devint le secrétaire en 1777, et entra à l'Académie française (voir Institut de France) en 1782. Nommé par Turgot inspecteur général des Monnaies en 1774, il fut député à l'Assemblée législative, où il présenta un plan d'organisation de l'instruction publique. Le 25 janvier 1792, il devient Président de l'Assemblée législative. Pendant la Révolution française, il s'allia aux Girondins dont il prit la défense en s'opposant à la Terreur de 1793. Déclaré proscrit, il prit la fuite, mais huit mois plus tard il fut arrêté à Clamart et emprisonné ; le jour suivant, le 07/04/1794, on le trouva mort, empoisonné, dans sa prison de Bourg-l'Égalité (Bourg-la-Reine). En 1989, ses cendres furent transférées au Panthéon.
Les recherches de Condorcet en mathématiques (Essai sur le calcul intégral, 1765, Essai d'analyse, 1768) engendrèrent son projet ambitieux d'une " mathématique sociale " par laquelle il espérait établir des prévisions fiables pour le monde humain en définissant des " valeurs moyennes " des phénomènes sociaux (Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, 1785 ; Tableau général de la science qui a pour objet l'application du calcul aux sciences politiques et morales, 1795). En économie, il adopta la doctrine des physiocrates.
Son œuvre majeure, Esquisse d'un tableau historique des progrès de l'esprit humain (1795), expose une théorie en vertu de laquelle le processus d'émancipation du genre humain, composé de neuf stades successifs, débute par la Réforme et l'invention de la presse et atteint son apogée dans la Révolution. La décadence et le retour à la barbarie continuent cependant à menacer l'humanité si le savoir est détenu par une caste fermée, car seule la diffusion des connaissances scientifiques lui permet d'accéder au stade supérieur du progrès.

"Condorcet, Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de," Encyclopédie® Microsoft® Encarta 2000.
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L'effet Condorcet.

Les membres du club " Archimède " de Léonardville ne pensaient pas voir apparaître le nom de ce philosophe mathématicien quand il s'est agi de choisir l'emblème de leur club.

Chacune des trois solutions avait ses partisans :

Pour choisir l'emblème qui plaise au maximum d'entre eux, les trente membres décident de voter à la majorité des voix. Un premier vote a lieu pour savoir si l'emblème aura quatre angles égaux : 20 pour, 10 contre . L'emblème ne sera donc pas un losange en argent.

Un second vote a lieu pour savoir si l'emblème aura quatre côtés égaux : 20 pour, 10 contre. L'emblème ne sera donc pas un rectangle en or.

L'affaire semble donc entendue : l'emblème sera un carré en bronze !

C'est alors qu'un arrière-arrière-petit-fils de Condorcet se souvint de son aïeul et réclama un nouveau vote pour savoir si l'emblème serait bien un carré.
Il y eut des protestations dans le club : chaque membre était parfaitement logique et n'avait pas changé d'avis entre les votes,…
Bref, on finit tout de même par revoter : le résultat du vote provoqua un tollé sans précédent : 10 membres seulement étaient pour le carré et 20 contre !
On se mit à réfléchir et à demander à chaque membre du club sa préférence ; on s'aperçut alors que 10 membres préféraient le carré, 10 le losange et 10 le rectangle. Cela donnait bien les résultats contestés : une assemblée votant à la majorité pouvait donc prendre des décisions illogiques selon l'ordre suivant lequel les questions étaient posées !
C'est cette triste constatation que Condorcet avait mise en évidence dans son ouvrage intitulé " Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix ", paru en 1785.
En fait, Condorcet étudie précisément deux " paradoxes " susceptibles d'apparaître dans un scrutin, lorsqu'il s'agit d'élire un Président, et, que trois candidats A, B, C sollicitent les suffrages de l'assemblée.

 

Premier paradoxe :

Il se peut que le vote par choix successifs entre deux candidats fasse éliminer celui des candidats qui aurait obtenu le plus de suffrages lors d'un vote entre tous les candidats. C'est ce qui arrive pour une assemblée dans laquelle la répartition des préférences est la suivante :

  • Pour A>B>C : 0
  • Pour A>C>B : 23
  • Pour B>A>C : 0
  • Pour B>C>A : 19
  • Pour C>A>B : 2
  • Pour C>B>A : 16

Lorsque cette assemblée vote entre deux candidats, elle préfère C à B ( par 41 voix contre 19), et elle préfère B à A ( par 35 voix contre 25) ; évidemment, elle préfère aussi C à A (par 37 voix contre 23). Lors d'un vote entre les trois candidats ensemble, ce serait pourtant A qui aurait la préférence (avec 23 voix) devant B (avec 19 voix) et C (avec 18 voix) : les ordres sont inversés selon le mode de scrutin !

Cette situation est connue sous le nom de " paradoxe de Borda "(1).
Mais cela reste explicable si l'on veut bien considérer qu'une assemblée, dont les membres sont sages et logiques, peut très bien préférer un " Président de compromis " à un Président ou un autre qui aurait plus de partisans mais aussi plus d'adversaires.

Second paradoxe :

Une assemblée peut, à la majorité, préférer A à B, préférer B à C, mais préférer C à A, et cela malgré le comportement totalement logique des participants aux votes !
Voici une répartition des préférences, pour laquelle ce phénomène apparaît dans une assemblée de 60 personnes :

  • Pour A>B>C : 23
  • Pour A>C>B : 0
  • Pour B>A>C : 2
  • Pour B>C>A : 17
  • Pour C>A>B : 10
  • Pour C>B>A : 8

Lorsque cette assemblée vote entre deux candidats, elle préfère C à A (par 35 voix contre 25), et préfère aussi A à B (par 33 voix contre 27) ; mais, incroyablement, elle préfère pourtant B à C (par 42 voix contre 18).
Ce second paradoxe est irréductible : il faut y prendre garde lorsque des décisions sont prises par une assemblée à la majorité des voix … le club de Léonardville ne s'y laissera plus reprendre !

(1) Charles de Borda, chevalier, marin de haute mer et mathématicien, est plus connu pour son invention du " Cercle répétiteur à réflexion " qui porte son nom et qui servit, à la fois, pour la navigation et pour la mesure du méridien terrestre par Delambre et Méchain en vue de donner une définition de la nouvelle mesure : le mètre Le Borda était le navire-école de l'Ecole Navale avant le Jeanne d'Arc.

André Deledicq.

( M. Jean Capron, membre de l'A.D.C.S., nous a également fourni dans l'ancien " Petit Archimède " une excellente étude sur ce sujet )