T 36 - Réponses à l'épreuve 8 du concours E. Lucas.
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E22

Voici ma rue du côté des numéros impairs :

1
3
5
7
9
...
...
...
83
85

Cette suite de numéros commence par 1.
85 est donc le numéro de la ((85 + 1) / 2) ème maison, soit la 43ème maison.

Voici maintenant ma rue lorsque la numération est inversée :

103
101
...
...
...
9
7
5
3
1

Même raisonnement maintenant : 103 est donc le numéro de la ((103 + 1) / 2) ème maison, soit la 52ème maison.

Il y a donc 43 + 52 - 1 maisons ( -1 parce que l’on compterait deux fois ma maison ), soit 94 maisons dans la rue.

E23
10
11
6
7
8
5
12
14
15
9
3
2
1
4
13
16

Les deux cases concernées sont mises en évidence.
En effet, la somme des 16 nombres est 1 + 2 + 3 + ... + 16 = ( 17 x 16) / 2 = 136, soit par ligne et par colonne, la somme magique de 34 ( 136 : 4 = 34).
Seules les lignes 2 et 3, les colonnes 2 et 4, la diagonale « 1 ; 9 ; 12 ; 7 » sont affectées.
D’où une seule solution : la permutation de 9 et de 14, et pour finir 9×14=126.

E24

Comptons les carrés formés de 1 carreau : C’est simple, il y en a 25.
Comptons les carrés formés de 4 carreaux : il y en a 16.
Comptons les carrés formés de 9 carreaux : il y en a 9.
Comptons les carrés formés de 16 carreaux : il y en a 4.
Comptons les carrés formés de 25 carreaux : il y en a 1.
Total : 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55
On peut donc compter 55 carrés dans la figure proposée.

C22 Dans 5 ans, Mario et Antoine auront ensemble 35 ans donc actuellement ils ont ensemble 25 ans, et il y a 5 ans ils avaient ensemble 15 ans . Or Antoine avait 2 fois l’âge de Mario donc , à l’évidence Antoine avait 10 ans et Mario 5 ans.
Actuellement, après avoir vieilli de 5 années, Mario a donc 10 ans !

Voici une autre solution plus mathématique qui s’adresse aux plus grands.
Faisons un tableau :
 
Il y a 5 ans…
Antoine avait 2 fois l'âge de Mario.
Actuellement.
Dans 5 ans …
Mario et Antoine auront ensemble 35 ans.
Mario
x - 5
x
x + 5
Antoine
2( x - 5 ) soit 2x - 10
2x - 10 + 5 soit 2x - 5
2x - 5 + 5 soit 2x

Dans 5 ans : x + 5 + 2x = 35 donc 3x + 5 = 35 donc 3x = 30 alors x = 10 . Mario a 10 ans !

C23

Il y a donc pêle-mêle dans le tiroir : 10 gants blancs droits, 10 gants blancs gauches
10 gants noirs droits, 10 gants noirs gauches.
Avec de la malchance, on peut d'abord tirer les 10 gants blancs gauches puis les 10 gants noirs droits ( ou gauches !). On a pour le moment tirer 20 gants.
Le 21ème gant tiré sera forcément le bon ! En effet, ce sera soit un gant blanc droit, soit un gant noir gauche ( ou droit !). De quoi former une belle paire de gants !
C'est évidemment le même résultat avec d'autres tirages.
Pour être certain de pouvoir enfiler une paire de gants de la même couleur, il faut en extraire 21 du tiroir.

 

C24

Considérons " midi " comme position de départ des deux aiguilles.
A ma montre, il est 12 h 12 min.
Intéressons nous d'abord à la grande aiguille qui fait un tour ( 360 degrés ) en 1 heure : la grande aiguille est sur le 12, elle a donc parcouru 12 / 60 ème de tour, soit 1 / 5 de tour, soit encore 72 degrés.
Intéressons nous maintenant à la petite aiguille qui avance aussi !
Elle fait un tour ( 360 degrés ) en 12 heures donc 30 degrés en 1 heure.
Or, 12 minutes représentent 1 / 5 ème d'heure donc la petite aiguille a avancé de 1 / 5 ème d'heure soit un angle de 30 degrés divisé par 5, c'est à dire de 6 degrés.

Finalement, l'angle formé par les 2 aiguilles est égal à 66 degrés ( 72 - 6 = 66 ).